FUNÇÃO ZETA PROGRESSIMAL DE GRACELI.

 É TODA FUNÇÃO ZETA QUE OS SEUS RESULTADOS SÃO ACRESCIDOS , OU MULTIPLICADOS, , OU DIVIDIDOS , OU SUBTRAÍDOS DE FUNÇÕES DE PROGRESSÕES DE GRACELI.

A função zeta de Riemann é uma função especial de variável complexa, definida para ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$ pela série ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{-s}.}$ [+,X, - , /] P

P = P

P = PW /PU =

P = PW /PU + [ PK /PG]=

P = PW /PU + [ PK /PG] / [PZ /PM] =

                                                     P  

P = PW /PU + [ PK /PG] / [PZ /PM]       =

E OUTRAS..

Fora do conjunto dos números complexos com parte real maior do que a unidade a função de Riemann pode ser definida por continuação analítica da expressão anterior. O resultado é uma função meromorfa com um pólo em ${\displaystyle s=1}$ de resíduo ${\displaystyle 1.}$

Esta função é fundamental para a teoria dos números e em particular devido à hipótese de Riemann.

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História

A primeira vez que esta função surgiu foi no trabalho de Leonhard Euler, que, ao estudar a distribuição dos números primos, mostrou que a série

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}}$$

era uma série divergente (o que, como corolário, é mais uma prova de que existem infinitos números primos).^[1]

A prova de Euler se baseou na identidade

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }(1+p^{-s}+p^{-2s}+\ldots )=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}}$$

em que o produto percorre todos os números primos.^[1]

Euler e, mais tarde, Pafnuti Tchebychev, haviam usado esta identidade, respectivamente, para s igual a um e para s real. Riemann, em 1858, tratou s como uma variável complexa, e estudou a série

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$$

por técnicas da teoria das funções analíticas. Esta série converge apenas em parte do plano complexo, mas define, por continuação analítica, uma função única para todos os números complexos,^{[Nota 1]} exceto para o polo em s = 1. Riemann usou a letra grega zeta para escrever esta função, e por causa disto ela é chamada função zeta de Riemann.^[2]

Riemann anunciou várias propriedades importantes desta função, porém suas provas eram incompletas. Seu trabalho foi completado por Hadamard, em 1893, e por Mangoldt, em 1894.^[3]

Em matemática, a função zeta de Dedekind é uma série de Dirichlet definida para qualquer corpo numérico algébrico ${\displaystyle K}$, e notado ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ onde ${\displaystyle s}$ é uma variável complexa. É a soma infinita

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq O_{K}}(N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{-s}}$ [+,X, - , /] P

P = P

P = PW /PU =

P = PW /PU + [ PK /PG]=

P = PW /PU + [ PK /PG] / [PZ /PM] =

                                                     P  

P = PW /PU + [ PK /PG] / [PZ /PM]       =

E OUTRAS..

onde ${\displaystyle I}$ situa-se entre os ideais não zero do anel de inteiros ${\displaystyle O_{K}}$ de ${\displaystyle K}$. Aqui ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(I)=[O_{K}:I]}$ denota a norma de ${\displaystyle I}$ (ao corpo racional ${\displaystyle \mathbb {Q} }$). É igual à cardinalidade de ${\displaystyle O_{K}/I}$, em outras palavras, o número de classes residuais de módulo ${\displaystyle I}$. Esta soma converge absolutamente para todos os números complexos ${\displaystyle s}$ com parte real ${\displaystyle Re(s)>1}$. No caso ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ esta definição reduz-se à função zeta de Riemann.

As propriedades de ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ como uma função meromorfa leva a ser de considerável significância em teoria algébrica dos números. Ela tem um produto de Euler, o qual é um produto sobre todos os ideais primos ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle O_{K}}$

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{P\subseteq O_{K}}{\frac {1}{1-(N_{K/\mathbb {Q} }(P))^{-s}}}.}$

Esta é a expressão em termos analíticos da fatoração em primos única dos ideais ${\displaystyle I}$.

É conhecido (provado primeiramente de maneira geral por Erich Hecke) que ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ tem uma extensão analítica a todo o plano complexo como uma função meromórfica, tendo um polo simples somente em s = 1. O resíduo no polo é uma grandeza importante, envolvendo invariantes do grupo unidade e grupo de classe de K; detalhes estão na fórmula de classe numérica. Existe uma equação funcional para a função zeta de Dedekind, relacionando seus valores em s e 1−s.

Para o caso no qual K é uma extensão abeliana de Q, sua função zeta de Dedekind pode ser escrita como o produto de funções L de Dirichlet. Por exemplo, quando K é um corpo quadrático isto mostra que a razão

${\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}}$

é uma função L L(s,χ); onde ${\displaystyle \chi }$ é um símbolo de Jacobi como caráter de Dirichlet. Que a função zeta de um corpo quadrático é um produto da função zeta de Riemann e uma certa função L de Dirichlet é uma formulação analítica da lei de Gauss da reciprocidade quadrática.

Em geral se K é uma extensão de Galois de Q com grupo de Galois G, sua função zeta de Dedekind tem uma fatorização comparável em termos de funções L de Artin. Estas são ligadas a representações lineares de G.